Augustus de Morgan (1806-1871)
Nevéhez fűződik az arisztotelészi logika alapján a logikai műveletek algoritmizálásra tett
első kísérlet. 1847-ben publikált „Formális logika” c. műve veti meg a logikai algebra alapjait.
George Boole(1815-1864)
A formális logika törvényeit a matematikában alkalmazta, de a maga korában nem talált
számottevő visszhangra. Később a számolás gépesítése és a számítógépek kapcsán alapvető fontosságúnak bizonyult munkássága. Az általa bevezetett, azóta róla Boole-algebrának nevezett tudomány-terület célja, hogy egyesítse a matematikát a logikával.
Claude Elwood Shannon(1916-2001)
Doktori értekezésében tárgyalta a számítógépek kialakításával, megvalósításával
kapcsolatos gyakorlati problémakört, hogy az elektromechanikus relék rendszerével logikai műveletek sorát hogyan lehet megvalósítani. Ezzel elsők között foglalkozott a korábban elméleti jellegű Boole-algebra gyakorlatba való átültetésével.
Alapfogalmak
Kijelentés, állítás: Olyan szavakkal, vagy más szimbólumokkal kifejezett „mondat”, „objektum”, amely egyértelműen igaz, vagy hamis (azaz nem igaz).
Logikai érték (logikai változó):
A kijelentéshez tartozó „igaz” vagy „hamis” jelző.
Jelei: igaz érték: i, I, T, 1 (általában i)
hamis érték: h, H, F, 0 (általában h)
Egyszerű kijelentés: Nem bonthatók fel további állításokra.
Példa: A tiszta hó fehér.
Április 30 napból áll.
3>2
4
Összetett kijelentés: Több állítást tartalmazó, bonyolult szerkezetű kijelentés.
Példa: A Hold sajtból van és Kanada Európai ország.
a<b és b<c
Logikai műveletek
Negáció: (NOT) az állítás logikai értékét megfordítja. Az igazból hamis lesz, a hamisból igaz.
Jelölése: (NEM, NOT, ¬ , C# programozásban megfelelője: ! )
Példák: A: Esik az eső. Ha tagadjuk: NOT A: Nem esik az eső.
Konjukció (ÉS)
(ÉS, AND, ˄ , C# programozásban megfelelője: && )
Az A ÉS B logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha mind A, mind B (tehát egyszerre minkettő) logikai értéke igaz.
Példák: A: Péter okos.
B: Péter szép.
A˄B: Péter okos is és szép is.
Diszjunkció (VAGY)
(VAGY, OR, ˅ , C# programozásban megfelelője: || )
Az A VAGY B logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha A és B közül legalább az egyik logikai értéke igaz.
Példák: A: Péter okos.
B: Péter szerencsés.
AvB : Péter okos vagy szerencsés vagy mindkettő.
Kizáróvagy (XOR)
Az A XOR B logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha vagy A, vagy B, (de nem mindkettő) logikai értéke igaz. Tehát, csak az egyik igaz.
Példák: A: Esik az eső.
B: Nem esik az eső.
AvB =i
A: Éjszaka van.
B: Nappal van.
AvB =i
A: A házban vagyok.
B: A szobában vagyok.
AvB =h
A logikai műveletek igazság táblája:
Logikai műveletek tulajdonságai
a) Kommutativitás:
A ÉS B = B ÉS A
A VAGY B = B VAGY A
A XOR B = B XOR A
b) Asszociativitás:
(A ÉS B) ÉS C = A ÉS(B ÉS C)
(A VAGY B)VAGY C = A VAGY(B VAGY C)
(A XOR B)XOR C = A XOR (B XOR C)
c) Disztributivitás:
(A ÉS B) VAGY C = (A VAGY C) ÉS (B VAGY C)
(A VAGY B)˄C = (A ÉS C) VAGY (B ÉSC)
(A XOR B) ÉS C = (A ÉS C) XOR (B ÉS C)
A XOR B = (A ÉS NEM B) VAGY (NEM A ÉS B)
d) Tagadás:
NEM (NEM A) = A
NEM (A ÉS B)= NEM A VAGY NEM B
NEM (A VAGY B)= NEM A ÉS NEM B
Hogy jön ez az egész az informatikához? A logikai kapukkal.
A logikai kapu valamely logikai alapműveletet, vagy ezek kombinációját megvalósító áramkör. A bemeneti és kimeneti értékek logikai értékek (hamis a 0, igaz az 1), amelyeket feszültségszintek képviselnek. A mikroelektronikai berendezések nagy része kétállapotú elemekből áll. Egy logikai kapu egy, vagy több logikai értéket kap bemenetként, melyeken elvégezve az adott műveletet egy kimeneti értékkel tér vissza. Mivel a kimeneti érték is logikai, így az közvetlenül továbbítható egy másik kapu bemenetére, így egyszerű logikai kapukból is igen bonyolult rendszerek építhetőek.
Források:
Bay-Juhász-Szentlekiné: Matematika analízis példatár I.BGF, Budapest, 2000.
Dorozsmai Károly: 60 tétel informatikából(középszint –szóbeli)Maxim Kiadó, Szeged, 2009.
Szelezsán János: Matematika 1. (Bevezető fejezetek a matematikából informatikusoknak)LSI Oktatóközpont, Budapest, 2001.
Szelezsán János: Matematika példatárLSI oktatóközpont, Budapest, 2001.